龐加萊是在1904年發表的一組論文中提出這一猜想的：「單連通的三維閉流形同胚於三維球面。」它後來被推廣為：「任何與n維球面同倫的n維閉流形必定同胚於n維球面。」我們不妨藉助二維的例子做一個粗淺的比喻：一個無孔的橡膠膜相當於拓扑學中的二維閉曲面，而一個吹漲的氣球則可以視為二維球面，二者之間的點存在著一一對應的關係，同時橡膠膜上相鄰的點仍是吹漲氣球上相鄰的點，反之亦然。有趣的是，這一猜想的高維推論已於上個世紀60年代和80年代分別得到解決，唯獨三維的情況仍然像只攔路虎一樣趴在那裡，向世界上最優秀的拓扑學家發出挑戰。
代數拓扑是當今數學最具活力的領域之一，對「龐加萊猜想」的證明及其帶來的後果將會加深數學家對流形性質的認識，甚至會對人們用數學語言描述宇宙空間產生影響，而這一猜想的陳述又是那樣的簡潔和明朗，因此設在波士頓的克萊數學研究所於2000年將它列為「七大千年難題」之一，並懸賞100萬美金獎勵這一猜想的證明者。也正因為如此，當美國媒體和網際網路上關於這一猜想可能已被證明的消息傳播開來之時，在整個數學界引起的轟動就可想而知了。
對此猜想作出重要貢獻的是一位來自俄羅斯的中年數學家格裡高利．佩雷爾曼（Grigory Perelman）。他是聖彼得堡斯捷克洛夫數學研究所的研究員，在過去10年中一直致力於微分幾何與代數拓扑的研究。2002年11月，佩雷爾曼通過網際網路公布了一個研究報告，聲稱證明了由美國數學家瑟斯頓（William P. Thurston）在25年前提出的有關三維流形的「幾何化猜想」，而「龐加萊猜想」正是後者的一個特例。由於每隔數年就會冒出一個新的「證明」隨後又被推翻，因此數學界對此類報告一向是非常謹慎的。四個月後佩雷爾曼又在網上公布了第二份報告，介紹了證明的更多細節。同時他也通過電子郵件與該領域的少數專家進行交流。
2003年4月，應華裔數學家田剛的邀請，佩雷爾曼在麻省理工學院作了三場演講，結果大獲成功。他似乎對所有問題和質疑都有準備－－或者流利地應答，或者指出其屬枝節末流。聽過演講的專業人士認為他的工作是極富創造性的，「即使證明有誤，他也發展了一些工具和思想，足以導致對『幾何化猜想
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